ما دانش آموزان پیرو راه تو هستیم مصطفی

ما دانش آموزان پیرو راه تو هستیم مصطفی

ما دانش آموزان پیرو راه تو هستیم مصطفی

ما دانش آموزان پیرو راه تو هستیم مصطفی

معادلات درجه 2


انواع روش‌های حل معادله درجه ۲

معادلات درجه دو با روش‌های فاکتورگیری، مربع کامل کردن، نمودار تابع(رسم نمودار)، روش نیوتون و روش‌های دیگر حل می‌شوند.

فاکتورگیری

این روش موقعی کارایی مناسبی دارد که بتوان به طریقی با تقسیم کل معادله بر ضریب جمله x^2\, دو ثابت b\, و c\, ای به دست آورد که بین آن‌ها رابطه‌ای به شکل b=m+n\, و c=mn\,

به سرعت به ذهن‌مان برسد. به این روش که منتج شده از اتّحاد ریاضیاتی معروف به جمله مشترک است ، روش حل تجزیه‌ای هم گفته می‌شود. سپس معادله بر اساس این اتحاد به شکل (x+m)(x+n)=0\, در می‌آید و در این حالت به آسانی با برابر صفر قرار دادن هر پرانتز به جواب‌های x=-m , x=-n\, می‌رسیم.

مثال: می‌خواهیــم معادله 2x^2-4x+6=0\, را حل کنیم. ابتدا دو طرف را بر دو تقسیم می‌کنیم تا ضریب x^2\, یک شود. سپس در صدد یافتن m و n برمی‌آییم. x^2-2x+3=0\, همان‌طور که می‌بینیم -2=(-1)+(-3) , 3=(-1)(-3)\, پس جواب‌ها به صورت x=1 , x=3\, می‌باشند.


روش مربـّـع کامل کردن

این روش بر مبنای یکی از معروف‌ترین اتّحادهای ریاضی ، معروف به اتحاد مربـّـع دوجمله‌ای به دست آمده‌است. برای هر دو عبارت ریاضی مثل A و B این اتحاد به این صورت ارائه می‌گردد: (A+B)^2=(A)^2+2(A)(B)+(B)^2\,

حال ما باید ax^2\, را به صورت (\sqrt {a}x)^2\, در نظر بگیریم و bx\, را به صورت 2(\sqrt {a}x)L\, و از آنجا L\, را به دست آورده و مقدار L^2\, را از طرف چپ معادله کم و زیاد کنــیم و پس از مرتب کردن و فاکتورگیــری ، معادله را به شکل

((\sqrt {a})x+L)^2+c-(L^2)=0\, درآوریم. که درصورتی معادله جواب حقیقی دارد که (L^2)-c\, مقداری مثبت یا صفر شود.

مثال : می‌خواهیم 4x^2+12x+5=0\, را حل کنــیم. (\sqrt {4}x+3)^2+5-9=0\, و سپس نتیجه می‌شود : (2x+3)^2=4\, و داریــــم: (2x+3)=+2 , (2x+3)=-2\, و از آنجا به دست می‌آوریم : x=-0.5 , x=-2.5\,

روش حل عمومی معادله درجه ۲

راه حل عمومی آن به صورت زیر است:

x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}

که نماد "±" به معنی هر دو است

x=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a} و x=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}

هر دو جواب‌هایی از معادله درجه ۲ هستند.

در صورتی که b^2-4ac کوچکتر از صفر باشد معادله جواب حقیقی ندارد و در صورتی که برابر صفر باشد دو حل به یک حل تبدیل شده و گفته می‌شود معادله یک ریشه مضاعف دارد.

اعداد ثابت p=\frac{-b}{a} و q=\frac{c}{a} به ترتیب بیانگر جمع و ضرب دو ریشه هستند.